1、拉格朗日中值

首先,由于点( a,f(a) )和点( b,f(b) )的连线方程是这样的 y=[ (f(b)-f(a))/(b-a) ](x-a)+f(a)

所以构造函数成两曲线距离d与x之间的关系即可：H(x)=f(x)-y (曲线减去直线)

由于两条线的起点与终点均重合,所以必然符合罗尔定理的条件H(a)=H(b),然后马上可以用罗尔定理证得.

思路：

1、拉格朗日中值定理其实就是罗尔定理的推广（或者说一般情况）,而柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推广（或者说特殊情况）.

2、罗尔定理的条件f(a)=f(b)就意味着是点( a,f(a) )和点( b,f(b) )的连线平行于坐标轴的情况,然后求函数f(x)的极值点（等价于求f'(k)=0的点）属于特殊情况.

而拉格朗日中值定理的情况是,罗尔定理的一般情况.( a,f(a) )和点( b,f(b) )的连线已经跟x轴产生夹角了,所以构造函数的时候就要把它的坐标轴转变一下.然后还是跟罗尔定理一样,求出函数H（x）的极值点即可.

2、拉格朗日中值

f(x)′=12x²-10x+1 拉格朗日中值定理是f(a)-f(b)=(a-b)f′(ε) f（1）=-2,f(0)=-2,f(1)-f(0)=0 f(x)′在[0，1]上的范围是[-12/13,3] 所以存在ε∈[0，1]，使(a-b)f′（ε）=0 即存在ε∈[0,1],使f(1)-f(0)=(1-0)f′(ε)成立，拉格朗日中值公式得到验证。

3、拉格朗日中值公式

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间

上连续；

（2）在开区间

内可导；

那么在开区间

内至少有一点

使等式

成立。

其他形式

记

,令

,则有

上式称为有限增量公式。

我们知道函数的微分

是函数的增量Δy的近似表达式，一般情况下只有当

很小的时候，dy和Δy之间的近似度才会提高；而有限增量公式却给出了当自变量x取得有限增量Δx（

不一定很小）时，函数增量Δy的准确表达式，这就是该公式的价值所在。